本文是基于 Friedmann, Oh, Briggs 2006 的中文学习笔记，可能部分内容不是最新结果/有误，欢迎指正。

21cm信号辐射转移方程

本节假设读者已有辐射转移基础，i.e. 已读完Rybicki-Lightman第一章内容）

因为经历了长时间的演化，我们可以假设在宇宙再电离时期的星系际介质中，所有的中性氢分子云的基态超精细结构能级分布都处于平衡态，并具有温度\(T_S\)，(其又被称之为自旋温度，我猜是因为它决定了总自旋态的分布）。温度是用来刻画能级排布的，根据我们的统计力学知识，这一条件意味着原子气体中的中性氢作为一个两能级系统，其高能态和低能态的排布遵循

\[\frac{n_1}{n_0}=\frac{g_1}{g_0}e^{-h\nu/kT_S}\]

然后基于辐射转移的知识，我们可以写出辐射转移的积分方程：

\(I_\nu(\tau)=I_\nu(0)e^{-\tau}+S_\nu(1-e^{-\tau})\)。

其中\(I_\nu(\tau)\)是我们关心的Intensity在光深\(\tau\)处的值，而\(S_\nu\)是source function。我们知道在热平衡的假设下，

\[S_\nu=B_{\nu}(T)\]

，\(B_{\nu}(T)\) 就是在温度\(T\) ，频率 \(\nu\)下的黑体辐射强度。

此处插一句，在瑞利-金斯极限下，有:

\[B_\nu(T_S)\approx\frac{2\nu^2}{c^2}kT_{S}\]

因此我们可以对\(I_{\nu}\)作同样的分解，即：

\[I_\nu(\tau)\approx\frac{2\nu^2}{c^2}kT_{b}(\tau)\]

这样我们只需要研究\(T_b\)和\(T_S\)的关系了（其实我还是没懂这个变换的必要性）。

而相应地，原方程可以化为 \(\begin{equation} \label{eqn:cont} T_b(\tau)=T_b(0)e^{-\tau}+T_S(1-e^{-\tau}) \end{equation}\) 这个方程中，\(T_b(0)\)是来自背景的21cm辐射，背景辐射主要来自于CMB光，具有温度$T_\gamma$；在接下来的章节中我们可以看到如何计算$T_S$；所以剩下的变量就是光深$\tau$。

光深\(\tau\)，根据定义，有：

\[\tau=\int\alpha_\nu ds\]

其中 \(\alpha_\nu\)是吸收系数，s是光所穿行的距离。其可以用爱因斯坦系数表示为（爱因斯坦系数定义及关系参见R-L chpt1.6） \(\begin{eqnarray} \alpha_\nu=\frac{h\nu}{4\pi}\phi(\nu)(n_0B_{01}-n_1B_{10})\\=\frac{h\nu}{4\pi}\phi(\nu)(n_0\frac{g_1}{g_0}-n_1)B_{10}\\=\frac{c^2}{8\pi\nu^2}\phi(\nu)(3n_0-n_1)A_{10}\\=\frac{c^2A_{10}}{8\pi\nu^2}\phi(\nu)3n_0(1-\frac{g_0n_1}{g_1n_0})\\=\frac{3c^2A_{10}}{8\pi\nu^2}\phi(\nu)n_0(1-e^{-h\nu/kT_S}) \end{eqnarray}\) 定义\(\sigma_{01}=\frac{3c^2A_{10}}{8\pi\nu^2}\)，可以得到

\[\alpha_\nu=\sigma_{01}\phi(\nu)n_0(1-e^{-h\nu/kT_S})\]

对该式积分，理想状态下这些都是常数，因此积分后可以得到

\[\begin{eqnarray} \tau=\sigma_{01}\phi(\nu)N_0(1-e^{-h\nu/kT_S})\\\approx\sigma_{01}\phi(\nu)\frac{N_{\rm HI}}{4}(1-e^{-h\nu/kT_S})\\\approx\sigma_{01}\phi(\nu)\frac{x_{\rm HI}N_{\rm H}}{4}(1-e^{-h\nu/kT_S}) \end{eqnarray}\]

假设\(h\nu\ll kT_S\)，原式化为

\[\tau=\sigma_{01}\phi(\nu)\frac{x_{\rm HI}N_{\rm H}}{4}\left(\frac{h\nu}{kT_S}\right)\]

式中HI表示中性氢，H表示中性+电离氢，\(N\)表示column density，\(x_{\rm HI}\)表示中性氢占总氢原子的数目比例。在上式中，大部分都是常数，数值模拟可以给出各处的\(N_{\rm H}\)和\(x_{\rm HI}\)，因此计算光深最后的阻碍就是\(\phi(\nu)\)。

一旦需要考虑\(\phi(\nu)\)，事情就变得复杂起来。考虑一团均匀的、静止的气体，其内部存在自然展宽和多普勒展宽。不仅如此，Hubble Flow还给这团气体施加了一个额外速度。21cm的$A_{01}$非常小，因此自然展宽可以不用太考虑。为了简化这个问题，我们换一种思路：速度会让原子发出的光处于不同的

这里首先考虑hubble flow和别的原因引起的气体整体运动，导致距气体中心共动距离\(s\)处的气体发光实际中心频率为\(\nu=\nu_{0}(1-\frac{H(z)s}{c}+\frac{v_{\parallel}}{c})\)

式中\(v_{\parallel}\)是沿视线方向，气体整体的运动速度。我们在该处假设一个宽度为\(\nu_D\)的多普勒展宽（我们将会看到实际上展宽基本没影响），其可以写为

\[\begin{eqnarray} \phi(\nu)=\frac{1}{\Delta\nu_D\sqrt{\pi}}e^{-\frac{(\nu-\nu_0)^2}{\Delta\nu_D^2}}\\ =\frac{1}{\Delta\nu_D\sqrt{\pi}}e^{-\frac{\nu_{0}^2}{c^2\Delta\nu_D^2}(-H(z)s+v_{\parallel})^2} \end{eqnarray}\]

其中s是距中心处的共动距离。将其代入原式积分，可以得到

\[\tau=\sigma_{01}\frac{x_{\rm HI}N_{\rm H}}{4}\left(\frac{h\nu}{kT_S}\right)\int\phi(\nu)ds\]

其中积分项

\[\begin{eqnarray} \int\phi(\nu)ds &=& \int\frac{1}{\Delta\nu_D\sqrt{\pi}}e^{-\frac{\nu_{0}^2}{c^2\Delta\nu_D^2}(-H(z)s+v_{\parallel})^2}ds\\ &=&\int\frac{1}{\Delta\nu_D\sqrt{\pi}}e^{-\frac{\nu_{0}^2}{c^2\Delta\nu_D^2}(-H(z)s+v_{\parallel})^2}\frac{ds}{d(H(z)s-v_{\parallel})}d(H(z)s-v_{\parallel})\\ &=&\int\frac{1}{\Delta\nu_D\sqrt{\pi}}e^{-\frac{\nu_{0}^2}{c^2\Delta\nu_D^2}(-H(z)s+v_{\parallel})^2}\frac{1}{(H(z)-dv_{\parallel}/ds_{\parallel})}d(H(z)s-v_{\parallel}) \end{eqnarray}\]

我们假设\(\frac{1}{(H(z)-dv_{\parallel}/ds_{\parallel})}\)是个常数，则剩余部分积分为\(\frac{c}{\nu_0}\)。代入原积分可得：

\[\begin{eqnarray} \tau=\sigma_{01}\frac{x_{\rm HI}N_{\rm H}}{4}\left(\frac{h\nu}{kT_S}\right)\frac{c}{\nu_0(H(z)-dv_{\parallel}/ds_{\parallel})}\\=\frac{3hc^3A_{10}}{32\pi kT_S\nu_0^2}\frac{x_{\rm HI}n_{\rm H}}{H(z)-dv_{\parallel}/ds_{\parallel}} \end{eqnarray}\]

至此我们就推导出了21cm信号的基本表达式。

辐射转移方程在实际中的应用

在两个场景下，辐射转移方程的结果可以被观测到。

  • 在CMB背景下星系际介质的21cm发射/吸收线

在这种情况下，考虑方程\eqref{eqn:cont}，光深0处的入射光\(T_{b}(0)\)即CMB光子\(T_{\gamma}\)。而此时我们观测到的量就是相对CMB的发射/吸收\(\delta T_{b}\)

\[\begin{eqnarray} \delta T_b(z)&=&\frac{T_b(z)-T_\gamma(z)}{1+z}\\ &=&\frac{1}{1+z}(T_S(1-e^{-\tau})-T_\gamma(1-e^{-\tau}))\\ &=&\frac{T_S-T_\gamma}{1+z}(1-e^{-\tau}) \end{eqnarray}\]

在光学薄的假设下，\(1-e^{-\tau}=\tau\)，因此原式可化为

\[\begin{eqnarray} \delta T_b(z)&=&\frac{T_S-T_\gamma}{1+z}\tau\\ &=&\frac{3hc^3A_{10}}{32\pi k\nu_0^2}\frac{x_{\rm HI}n_{\rm H}}{H(z)-dv_{\parallel}/ds_{\parallel}}\frac{T_S-T_\gamma}{(1+z)T_S} \end{eqnarray}\]

该式正是文献中（如 Mellema et al. 2003）的表达式。也是21cm宇宙学中，最常用的表达式之一。

  • 21cm森林

假设背景光不是CMB光子，而是一个极亮射电源，那么背景光穿过气体时，气体本身的发射就可以忽略，唯一重要的就是对背景光的吸收。这种情况下，射电源的光谱中会有大量的吸收线，表征了星系际介质各处氢原子的状态。类似于Lyman-\(\alpha\)森林，这种射电谱被叫做21cm森林。

自旋温度的影响因素

自旋温度表征的时各能态上氢原子的数密度，那么为了计算自旋温度，首先我们得知道有哪些因素可以改变氢原子的精细结构。在这件事情上，人们主要考虑了三种影响因素。最简单的当然就是之前一直在说的两能级系统内的跃迁和吸收了，其次还有碰撞和光子-电子散射。碰撞导致超精细结构改变举例而言就是，假设有一个质子电子自旋都向上的氢原子，另有一个都向下的氢原子，二者碰撞交换了各自的电子，我们就有了俩自旋一上一下的氢原子。而光子-电子散射使其超精细结构改变主要原因是这种散射会把电子散射到高能态，当电子从高能态跃迁回基态时，其自旋可能发生改变，结果就是超精细结构的改变。

如果只考虑这三个效应，那么我们可以写出这样的细致平衡

\[\begin{equation} \label{eqn:db} n_0(B_{01}I_{\nu}+C_{01}+P_{01})=n_1(A_{10}+B_{10}I_{\nu}+C_{10}+P_{10}) \end{equation}\]

不难看出，这里除了爱因斯坦AB系数之外，我写的\(P_{ij}\)的意思是通过光子-电子散射使系统从i态到j态的概率，而\(C_{ij}\)指的是通过碰撞从i态到j态的概率。而21cm的辐射强度远小于CMB，因此\(I_{\nu}\)可以认为几乎是\(I_{CMB}\)。

仿照之前\(n_1/n_0\)的关系，我们同样可以把\(C_{10}\)和\(C_{01}\)的关系写成

\[\frac{C_{01}}{C_{10}}=\frac{g_1}{g_0}e^{h\nu/kT_{K}}\approx3(1-\frac{h\nu}{kT_K})\]

至于为什么是\(g_1/g_0\)，我们可以想象在无穷高的温度下，从1到0态和从0到1态一样轻松。这个时候由于1态实际上有三个态，从0到1态的概率就是从1到0态概率的3倍。那么我们这么写出来之后，就可以用\(T_{K}\)指代碰撞效应的强度了。

同样地，可以写出

\[\frac{P_{01}}{P_{10}}=\frac{g_1}{g_0}e^{h\nu/kT_{c}}\approx3(1-\frac{h\nu}{kT_c})\]

这里\(T_{c}\)表征了光子-电子作用的强度。

那么式\eqref{eqn:db}实际上可以写成

\[\frac{n_1}{n_0}=\frac{B_{01}I_{\nu}+C_{01}+P_{01}}{A_{10}+B_{10}I_{\nu}+C_{10}+P_{10}}\] \[LHS\approx3(1-\frac{h\nu}{kT_S})\] \[\begin{eqnarray} RHS=\frac{B_{01}I_{\nu}+C_{01}+P_{01}}{(1+\frac{kT_\gamma}{h\nu})A_{10}+C_{10}+P_{10}} \\=\frac{3(1+\frac{kT_\gamma}{h\nu}-1)A_{10}+C_{10}3(1-\frac{h\nu}{kT_K})+P_{10}3(1-\frac{h\nu}{kT_c})}{(1+\frac{kT_\gamma}{h\nu})A_{10}+C_{10}+P_{10}} \\=3\left(1-\frac{A_{10}+C_{10}\frac{h\nu}{kT_K}+P_{10}\frac{h\nu}{kT_c}}{(1+\frac{kT_\gamma}{h\nu})A_{10}+C_{10}+P_{10}}\right) \end{eqnarray}\]

连立起来

\[\begin{eqnarray} \frac{h\nu}{kT_S}=\frac{A_{10}+C_{10}\frac{h\nu}{kT_K}+P_{10}\frac{h\nu}{kT_c}}{(1+\frac{kT_\gamma}{h\nu})A_{10}+C_{10}+P_{10}} \\\frac{1}{T_S}=\frac{A_{10}\frac{k}{h\nu}+C_{10}T_K^{-1}+P_{10}T_c^{-1}}{(1+\frac{kT_\gamma}{h\nu})A_{10}+C_{10}+P_{10}} \end{eqnarray}\]

如果我们忽略自发辐射A系数（可以计算出\(\frac{2h\nu^3}{c^2}\ll 1\)），上式可化简为

\[\begin{eqnarray} \frac{1}{T_S}=\frac{A_{10}\frac{k}{h\nu}+C_{10}T_K^{-1}+P_{10}T_c^{-1}}{\frac{kT_\gamma}{h\nu}A_{10}+C_{10}+P_{10}}\\ \frac{1}{T_S}=\frac{T_{\gamma}^{-1}+\frac{h\nu C_{10}}{kT_\gamma A_{10}}T_K^{-1}+\frac{h\nu P_{10}}{kT_\gamma A_{10}}T_c^{-1}}{1+\frac{h\nu C_{10}}{kT_\gamma A_{10}}+\frac{h\nu P_{10}}{kT_\gamma A_{10}}} \end{eqnarray}\]

如果我们定义两个表征影响的系数：

  • \(x_{\alpha}=\frac{h\nu C_{10}}{kT_\gamma A_{10}}\): 表征碰撞对于\(T_{S}\)的影响
  • \(x_{c}=\frac{h\nu P_{10}}{kT_\gamma A_{10}}\): 表征光子-电子散射对于\(T_{S}\)的影响

那么原式可化为 \(\frac{1}{T_S}=\frac{T_{\gamma}^{-1}+x_{\alpha}T_K^{-1}+x_{c}T_c^{-1}}{1+x_{\alpha}+x_{c}}\) 如果我们能把等式右边这些系数和温度都求出来，我们就知道\(T_{S}\)啦（x